מה ההבדל בין סטטיסטיקה לבין הסתברות?

הסתברות מול סטטיסטיקה

הסתברות וסטטיסטיקה הם תחומים קשורים במתמטיקה העוסקים בניתוח ההופעה היחסית של אירועים. ובכל זאת, ישנם הבדלים מהותיים באופן שבו הם רואים את העולם:

הסתברות עוסקת בחיזוי הסבירות לאירועים עתידיים, בעוד שסטטיסטיקה כוללת ניתוח של תדירות אירועי העבר.
הסתברות היא בעיקר ענף תיאורטי של המתמטיקה, החוקר את ההשלכות של הגדרות מתמטיות. סטטיסטיקה היא בעיקר ענף יישומי של מתמטיקה, המנסה להבין את התצפיות בעולם האמיתי.
שני הנושאים חשובים, רלוונטיים ושימושיים. אבל הם שונים, והבנת ההבחנה חיונית בפירוש נכון של הרלוונטיות של ראיות מתמטיות. מהמרים רבים הלכו לקבר קר ובודד על כך שלא הצליחו לעשות את ההבחנה הנכונה בין הסתברות לסטטיסטיקה.

ההבחנה הזו אולי תתבהר אם נעקוב אחר תהליך החשיבה של מתמטיקאית שנתקלת במשחק השטויות הראשון שלה:

אם המתמטיקאית הזו הייתה הסתברותית, היא הייתה רואה את הקוביות וחושבת "קוביות שש צדדיות? יש להניח שכל פנים של הקוביות ינחתו עם הפנים כלפי מעלה באותה מידה. עכשיו בהנחה שלכל פאה יש הסתברות של 1/6, אני יכול להבין מה הסיכוי שלי להשתחרר".

אם במקום זאת תשוטט סטטיסטיקאית, היא הייתה רואה את הקוביות וחושבת "הקוביות האלה אולי נראות בסדר, אבל איך אני יודע שהן לא מרמות? אני אצפה קצת, ואעקוב אחרי התדירות שבה כל מספר עולה. אז אני יכול להחליט אם התצפיות שלי עולות בקנה אחד עם ההנחה של פאות בעלי הסתברות שוות. ברגע שאהיה בטוח מספיק שהקוביות הוגנות, אני אתקשר לסבירות שיגיד לי איך לשחק".

לסיכום, תורת ההסתברות מאפשרת לנו למצוא את ההשלכות של עולם אידאלי נתון, בעוד שהתיאוריה הסטטיסטית מאפשרת לנו למדוד את המידה שבה העולם שלנו אידיאלי.

תורת ההסתברות המודרנית צצה מטבלאות הקוביות של צרפת בשנת 1654. Chevalier de Méré, אציל צרפתי, תהה האם לשחקן או לבית יש יתרון בווריאציה של משחק ההימורים הבא:

בגרסה הבסיסית, השחקן מטיל ארבע קוביות, וזוכה בתנאי שאף אחת מהן אינה שש. הבית מנצח את ההימור אם מופיעה לפחות שישה אחת.

דה מרה הביא את תשומת הלב של בעיה זו למתמטיקאים הצרפתים בלז פסקל ופייר דה פרמה, המפורסם ביותר כמקור המשפט האחרון של פרמה. יחד, גברים אלה פיתחו את היסודות של תורת ההסתברות, תוך כדי כך קבעו שהבית מנצח את הגרסה הבסיסית עם הסתברות $p = 1 – (5/6)^4 \בערך 0.517$, כאשר ההסתברות p = 0.5 תציין משחק הוגן שבו הבית מנצח בדיוק חצי מהזמן.