מה ההבדל בין פרבולה ובין היפרבולה?

פרבולה והיפרבולה הם שני חתכים שונים של חרוט. אפשר להתמודד עם ההבדלים ביניהם בהסבר מתמטי או להתמודד עם ההבדלים בצורה מאוד פשוטה שלא רק מתמטיקאים אלא כולם יכולים להבין.

קודם כל, כאשר דמות מוצקה, שבמקרה זה היא חרוט, נחתכת על ידי מישור, הקטע שמתקבל נקרא חתך חרוט. קטעי חרוט יכולים להיות מעגלים, אליפסות, היפרבולות ופרבולות, תלוי בזווית החיתוך בין ציר החרוט למישור. פרבולות והיפרבולות הן עקומה פתוחה שמשמעותה שזרועות או ענפי הקימורים ממשיכים עד אינסוף; הם אינם עקומות סגורות כמו מעגל או אליפסה.

מה זו פרבולה?

במתמטיקה, פרבולה היא עקומת מישורית שהיא סימטרית במראה והיא בצורת דומה ל U . יש מספר תיאורים מתמטיים שונים באופן שטחי, שניתן להוכיח שהם מגדירים בדיוק את אותם העקומות.

תיאור אחד של פרבולה כולל נקודה (המוקד) וקו (ה- מדריך). המוקד אינו מונח על המדריך. הפרבולה היא אוסף הנקודות הנמצאות במרחק שווה הן מהמדריך והן מהמוקד. תיאור נוסף של פרבולה הוא כחתך חרוטי, שנוצר מהצטלבות של משטח חרוטי עגול ימני ומישור מקביל למישור אחר המשיק למשטח החרוטי.

הקו הניצב למדריך (directix) ועובר במוקד (כלומר הקו המפצל את הפרבולה באמצע) נקרא “ציר הסימטריה”. הנקודה בה הפרבולה חוצה את ציר הסימטריה שלה נקראת “קודקוד” והיא הנקודה בה הפרבולה מעוקלת בצורה החדה ביותר. המרחק בין קודקוד למוקד, הנמדד לאורך ציר הסימטריה, הוא “אורך המוקד”. פרבולות יכולות להיפתח, למטה, לשמאל, לימין, או לכיוון שרירותי אחר. כל פרבולה ניתנת למיקום מחדש ולהגדלה כך שתתאים בדיוק לכל פרבולה אחרת – כלומר, כל הפרבולות דומות גיאומטרית.

לפרבולות יש את המאפיין שאם הן עשויות מחומר שמשקף אור, אז האור שעובר במקביל לציר הסימטריה של פרבולה ופוגע בצדה הקעור מוחזר למוקד שלה, ללא קשר למקום בו נמצא הפרבולה ההשתקפות. לעומת זאת, אור שמקורו בנקודה במוקד משתקף לקורה מקבילה (“מבולגת”) ומשאירה את הפרבולה במקביל לציר הסימטריה. אותם אפקטים מתרחשים עם קול וגלים אחרים. מאפיין רפלקטיבי זה הוא הבסיס לשימושים מעשיים רבים בפרבולות.

לפרבולה יש יישומים רבים וחשובים, החל מאנטנה פרבולית או מיקרופון פרבולי ועד מחזירי פנסים לרכב ועיצוב טילים בליסטיים. הם משמשים לעתים קרובות בפיזיקה, הנדסה ובתחומים רבים אחרים.

מה זו היפרבולה?

היפרבולה היא סוג של עקומה חלקה המונחת במישור. להיפרבולה יש שני חלקים, המכונים רכיבים או ענפים מחוברים, שהם תמונות מראה זה לזה ודומים לשתי קשתות אינסופיות. ההיפרבולה היא אחד מסוגי חתך החרוט, שנוצר על ידי צומת מישור וחרוט כפול. (החלקים החרוטיים האחרים הם הפרבולה האליפסה והמעגל ( מעגל הוא מקרה מיוחד של אליפסה.) אם מישור חוצה את שני חצאי החרוט הכפול אך אינו עובר בקודקוד החרוטים, הרי החרוט הוא היפרבולה. .

היפרבולות מופיעה בכל מני מקומות:

• כעקומה המייצגת את הפונקציה

• נוצרת כשביל שעובר הצד של שעון שמש
• כצורה של מסלול פתוח (להבדיל ממסלול אליפטי סגור), כגון מסלול חללית במהלך שהייה בכוח הכבידה של כוכב לכת או, באופן כללי, כל חללית העולה על מהירות הבריחה של כוכב הלכת הקרוב ביותר,
• כנתיב של שביט בעל נתיב חד פעמי (כזה שנסע מהר מדי מכדי לחזור למערכת השמש),
• בניווט ברדיו, כאשר ניתן לקבוע את ההפרש בין מרחקים לשתי נקודות, אך לא המרחקים עצמם,

לכל ענף של ההיפרבולה שתי זרועות שהופכות ישרות יותר (עקמומיות תחתונה) יותר ממרכז ההיפרבולה. זרועות מנוגדות באלכסון, אחת מכל ענף, נוטות בגבול לקו משותף, הנקרא אסימפטוטה של ​​שתי הזרועות. הצומת של שתי האסימפטוטות נמצא במרכז הסימטריה של ההיפרבולה, שניתן לחשוב עליה כנקודת המראה עליה משקף כל ענף ליצירת הענף האחר.